Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia.cop.xki

\(\left(1.x+1.y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x+y\right|\le2\Rightarrow-2\le x+y\le2\)

Cách làm khác:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x+y\right|\le\sqrt{2}\)

\(x+y=-\sqrt{2}\text{ khi }x=y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

=> GTNN của x +  y là \(-\sqrt{2}\)

\(x+y=\sqrt{2}\text{ khi }x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow GTLN\text{ của }x+y\text{ là }\sqrt{2}\)

Ta có (x+y)(x^2+xy+y^2)+(x^2+y^2)

=(x+y)(x^2+2xy+y^2-xy)+(x^2+2xy+y^2)-xy

=(x+y)(x+y)^2-xy(x+y)+(x+y)^2-xy

=(x+y)^2(x+y+1)-xy(x+y+1)

Tu do dat thua so chug la ra thui

`P=1-x^2-y^2-z^2+2x+4y+6z=15-(x^2-2x+1)-(y^2-4y+4)-(z^2-6z+9)=15-[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2]<=15AAx;y;z`

Dấu "=" xảy ra `<=>{(x-1=0),(y-2=0),(z-3=0):}<=>(x;y;z)=(1;2;3)`

Vậy `P_(max)=15<=>(x;y;z)=(1;2;3)`

------

Lưu ý: `P(k)^(2k)>=0` nên `-P(k)^(2k)<=0` xảy ra dấu bằng `<=>P(k)^(2k)=0<=>P(k)=0`

giup minh voi

1) \(M=\frac{x^2+y^2+7}{x^2+y^2+5}=1+\frac{2}{x^2+y^2+5}\)

Ta có: \(x^2+y^2\ge0,\forall x;y\)

=> \(x^2+y^2+5\ge5\) với mọi x; y 

=> \(\frac{2}{x^2+y^2+5}\le\frac{2}{5}\)

=> \(M\le1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 0 

Vậy max M = 7/5 đạt tại x = y = 0 

2) \(f\left(x-1\right)=x^2-3x+5=x^2-x-2x+2+3\)

\(=x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)+3=x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)-\left(x-1\right)+3\)

\(=\left(x-1\right)\left(x-1\right)-\left(x-1\right)+3\)

=> \(f\left(x\right)=x.x-x+3=x^2-x+3\)

Tìm \(MAX\)

Ta có: \(\frac{2x+1}{x^2+2}=\frac{x^2+2-x^2+2x-1}{x^2+2}\)

\(=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy GTLN của biểu thức là \(1\) tại \(x=1\)

Tìm \(MIN\)

Ta có: \(1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)

\(=-\frac{1}{2}+\frac{3x^2+6-2x^2+4x-2}{2\left(x^2+2\right)}\)

\(=-\frac{1}{2}+\frac{x^2+4x+4}{2\left(x^2+2\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}\ge-\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\) 

Vậy GTNN của biểu thức là \(-\frac{1}{2}\) tại \(x=-2\)

Ta có:

\(P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

Để P có GTLN thì \(\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\) phải có GTLN

Mà \(x^2\ge0\) nên để \(\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\) có GTLN thì \(x^4+x^2+1\) phải có GTNN

Ta có:

\(x^4\ge0;x^2\ge0\Rightarrow x^4+x^2\ge0\Rightarrow x^4+x^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=0

Vậy ...

th kietj giải sai nhé gtln =1

\(+x=0\Rightarrow P=0\)

\(+x\ne0;P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}\le\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}\)

Max P=1/3  jhi x=+- 1